Le Corbusier - MODULOR

Pojem tzv. „zlatý řez" představuje proporční vztah založený na poměru dvou jakýchkoliv částí celku. Jedná se o proporci částí A a B takových, že menší část A se má k větší B právě tak, jako se má větší část B k souhrnnému celku A a B. Zlatý řez je další proporční vztah, který si nárokuje statut všeobecného harmonického zákona s polem působnosti zahrnujícím výtvarné umění, hudbu, architekturu, ale i biologii či plastickou chirurgii.

Údajně tento poměr použili již staří Egypťané před téměř pěti tisíci lety při stavbě pyramid. První písemné zmínky o zlatém řezu pocházejí z antiky, z helénistického Řecka od Eukleida (kol. 340-287 př. n. l.). Kromě Eukleida se v antice zlatým řezem zabýval i umělec Feidias (sochař, malíř, zlatník a architekt), a to již v 5. století př. n. l. Postavil známý athénský Parthenon na Akropoli, jehož základem je zlatý obdélník (viz dále) a zlatý poměr nalezneme i na průčelí této stavby . Po Feidiovi bylo podle některých pramenů ve 20. století zavedeno označení pro zlaté číslo (fí). Jiné zdroje uvádějí, že toto označení je na počest nikoli Feidia, ale Leonarda Pisánského (asi 1170-1240) zvaného Fibonacci. Jméno tohoto významného matematika souvisí se zlatým číslem spíše po matematické stránce (viz dále). Teoretik Vitruvius, autor 10-ti knih o architektuře, se zabýval číselnými závislostmi a proporčními vztahy. Tvrdil, že bez těchto znalostí není možné postavit krásnou budovu. Podle Vitruvia je estetika budovy založena na číselných vztazích odvozených z proporcí lidského těla. Dnes již víme, že poměry velikostí částí lidského těla se často blíží opět zlatému číslu.

V moderní architektuře užíval zlatý řez Le Corbusier (1887-1965). Zabýval se geometrií, přes niž se snažil pochopit fungování vesmíru a organické přírody. Příroda žije v harmonii. Člověk jako jedinec vyšel z přírody, přírodní zákony utvářejí jeho život. Musíme poznat nejdříve tyto zákony a žít v souladu s nimi, jenom tak si zajistíme pocit harmonie. Zároveň tvrdil, žeje příroda substancí matematiky, která se na první pohled jeví jako hra propletených událostí. Proto, aby si člověk zajistil odpovídající prostředí promítl systém přírody do geometrie. Pomocí geometrie hledal dokonalou proporci, kterou pro něj představoval právě zlatý řez. S jeho pomocí se snažil vymyslet univerzální proporční jednotku, která by vycházela z lidské postavy, a která by pak při použití nejlépe vyjadřovala vlastní cíl, tedy sloužit díky účelnosti právě člověku....byl to MODULOR.

"Matematika je velkolepá struktura vytvořená člověkem proto, aby mu poskytla pochopení vesmíru"
LE CORBUSIER

POZN: geometrických konstrukcí zlatého řezu je několik, zobrazená varianta je nejčastější

Zlatý řez lze kromě prostředků geometrie vyjádřit i jako poměr jedné k iracionálnímu číslu phi (čti „fí"), vyjádřenému pomocí vzorce (√5-1)/2), s hodnotou tedy přibližně 0,61803 (tzv. zlaté číslo). Existuje také číslo Phi s velkým P na začátku a toto se liší od phi právě o jednu celou. Phi je tedy přibližně 1,61803 a vyjadřuje se vzorcem (√5+1)/2). Phi je důležité především proto, že udává hladinu, k níž se postupně více a více přibližují hodnoty takzvané Fibonacciho řady.

Existuje ještě další možnost, jak se dopracovat ke zlatému číslu, a to bez použití geometrie, dělení úsečky. Se zlatým číslem úzce souvisí posloupnost přirozených čísel (tzv. Fibonacciova posloupnost), kterou sestavil Ital Leonardo Pisánský zvaný též Fibonacci (žil na přelomu 12. a 13. století v Pise). V roce 1202 vydal latinsky psané dílo „Kniha o abaku" („Incipit Liber Abbaci Compositus a Leonardo filius Bonacci Pisano"). V této knize shrnul všechny tehdejší znalosti o aritmetice a algebře. Šlo o jednu z prvních knih v Evropě, která učila používat desítkovou soustavu. Do té doby se používaly pouze římské číslice. Fibonacciho řada je řada celých čísel, kde následující člen je vždy součtem dvou předcházejících členů. Prvním členem v řadě je číslo 1, druhým opět 1, protože před číslem 1 nalezneme pouze 0. Dále řada pokračuje číslem 2 coby součtem 1+1. Počátek řady proto vypadá následovně: 1,1, 2, 3, 5, 8,13, 21, 34, 55, 89,144, 233, 377... Poměr jednotlivých následujících čísel této řady se přibližuje poměru zlatého řezu a tedy i číslu Phi. Jmenovitě 1/1=1, 2/1=2, 3/2=1,5, 5/3=1,666..., 8/5=1,6,13/8=1,625, 21/13=1,61538..., a bylo by možné pokračovat s výsledky stále bližšími k číslu Phi.

Fibonacciova posloupnost je nejčastěji zadávána pomocí tzv. rekurentního vzorce, to znamená, že není dán vzorec pro přímý výpočet libovolného členu posloupnosti, ale vztah pro výpočet některého členu posloupnosti pomocí několika členů předcházejících. Obecný rekurentní vzorec vypadá následovně:

kde pi jsou členy posloupnosti, c1,.., ck (jsou konstanty a n, kjsou přirozená čísla. Tímto předpisem jsme vyjádřili (n+k)-tý člen posloupnosti pomocí k předchozích členů. Číslo k se nazývá řád rekurentního vzorce.

Fibonacciho princip funguje v přírodě aniž bychom o něm měli ponětí. Sám autor ho vyzkoušel při pokusu o rozmnožování králíků za ideálních podmínek. Uvedený příklad se může zdát jako odtržený od reality, ale dalším důkazem může být rozmnožování včel. Fibonacciho čísla můžeme nalézt také v počtech okvětních kvítků, kupříkladu: 3 (lilie, kosatec), 5 (pryskyřičník, karafiát), 8 (stračka), 13 (blatouch). Ještě zásadnější se však zdá být struktura rozmístění semen v semenících květin ( slunečnice...), semen šišek, kaktusů, uspořádání listů některých květin nebo schránek mořských korýšů (viz.obr.)

Fibonacciho řada se zde ukazuje být vzorcem pro optimální uspořádání. Zlaté číslo lze tedy skutečně zavést nejen jako poměr délek dvou částí úsečky, ale i jako limitu výše zmíněné Fibonacciho posloupnosti.

Znalost hodnoty zlatého čísla není k běžnému životu nezbytná. Nicméně je zajímavé, jak se poměrem zlatého řezu řídí příroda. Hledání zlatého řezu na rostlinách, schránkách měkkýšů, v krystalických strukturách látek, ba dokonce i na lidském těle by vydalo na nemalou knihu. To vysvětluje, proč se tento poměr lidem od počátků civilizace tak líbil (a doposud líbí). Přestože o něm většina z nás neví, naše oko je na něj zvyklé. Poměr zlatého řezu vnímáme jako přirozenou věc. Proto jej i v současnosti využívají například architekti, designéři, malíři nebo fotografové (občas i neúmyslně) při své práci.

LC byl doslova učarován zlatým řezem. Tento proporční systém používal nejen při rozvržení fasád domů s horizontálními okny, ale též v interiéru staveb, např. při umisťování uměleckých děl. V období druhé světové války odchází LC z Paříže do Vichy. Poprvé v roce 1941 začíná vytvářet svůj vlastní proporční kánon, který nazývá modulorem (mod/ modus - norma, ďor - zlato). Chce vytvořit ideální proporci architektury, prostoru, která by byla ve vzájemné harmonii s člověkem. Svůj výsledek vydává knižně v roce 1948 v první knize Le Modulor (Paris) a v roce 1955 druhý doplněný díl Le Modulor 2 (Paris).

Podkladem pro výpočty a zároveň pro spekulování představuje „typické" lidské tělo průměrného Evropana. Mustr lidského těla je logický, vzájemný vztah člověka (těla) vůči architektuře má historické kořeny už z antiky a později z renesance. LC si subjektivně definoval svůj antropologický vzor, sám tvrdil, že jako architekt - umělec má na to právo. Jak troufalé je, že si jako vzor vybral mužské tělo o výšce průměrného Evropana 175 cm. Tuto výšku později upravuje na hodnotu 183 cm nejspíše proto, že při dělení zlatým řezem vycházejí „hezčí" čísla. Skica modulora nepředstavuje tělo „průměrného" Evropa, ale jakoby zobrazovala archaickou postavu řeckého atleta: štíhlý pas, široká ramena a na nich malá hlava. Označuje 3 vzdálenosti na lidském těle, jaké tvoří po Fibonaccim řadu zlatého řezu. Mezi nohou, pupíkem, hlavou a prstem zvednuté ruky. Následně dělí výšku „průměrného" Evropana 175cm v poměru zlatého řezu na měřítko 108,2-66,8-41,45-25,4. (hodnota 175 cm je spíše výškou typického Francouze než Evropana ). Tato poslední hodnota představuje přesně 10 palců, nalézá tímto i spojitost s anglickým palcem (to ovšem neplatí pro vyšší hodnoty ). Tato čísla dostávají lidskou podobu, rozhodující body pro prostorové uspořádání. Jsou tedy antropologická.

Od této chvíle lze připustit, že toto pravidlo přiřazuje hlavním bodům prostoru lidské podoby, a že jimi vyjadřuje jednodušší, podstatnější, matematický vývoj hodnot. Totéž u jednotky, jejího dvojnásobku a jejích obou prodloužených nebo zkrácených zlatých řezů. Aby se stal modulor antropologickou normou, musel být universální pro různé délkové jednotky. Proto ho LC převáděl z cm do stop nebo palců.

„Modulor je měřítkový nástroj, který vychází s lidské podoby a matematiky."
LECORBUSIER

První grafické zobrazení Modulora (1946) - výška člověka 175cm

V roce 1946 odjíždí LC do USA, kde se setkává v Princetonu s prof. Albertem Einsteinem, který byl zároveň členem komise pro volbu místa budovy OSN. Představuje mu svůj objev - modulora. Einstein LC odpovídá: „je to systém, který dělá špatné složitým a dobré jednoduchým".

Po obdržení patentu na modulora, představuje svůj objev veřejnosti a vydává knižní podobu Le Modulor. Troufá si tvrdit, že by měl být modulor na rýsovacím prkně každého architektka, že se jedná o mimořádnou pomoc v projektování, která odstraňuje veškeré pochybnosti, nesprávnosti.

V roce 1947 vychází Le Corbusierova výška „průměrného" člověka naopak opačně ze 6ti anglických stop, přesněji z 1828,8 mm. Tou dělením dle zlatého řezu získává tzv.červenou řadu směrem od shora dolů. Když jsou stupně červené řady pro praktické potřeby příliš velké, vytváří další tzv. modrou řadu vycházející z hodnoty 2260 mm (špička prsty zvednuté ruky), taje dvojnásobnou hodnotou červené řady. Matematickým dělením pomocí zlatého řezu jsou zlomky zaokrouhlovány, tím tak dochází k odlišnostem 7-10 mm nad nebo pod takzvané potřebné hodnoty. Při převedení těchto základních hodnot do jiného délkového systému - palců vzniká další, od toho původního nezávislý systém.

Upravené grafické zobrazení Modulora (1947) - výška člověka 182,8cm

Pravidlu zlatého řezu náleží 3 hodnoty: 113, 70, 43cm (43+70=113 nebo 113-70=43). Při sčítání: 113+70=183, 113+70+43=226. Tři poslední hodnoty 113, 183 a 226 cm odpovídají vymezenému prostoru, který zaujímá člověk o výšce 180 cm. Při použití pravidla zlatého řezu na hodnotu 113 cm vyplývá 70 cm. Tak vzniká první řada, tzv. červená, 4-6-10-16-27-43-70-113-183 atd... Při použití pravidla zlatého řezu na hodnotu 226 cm (2x113) vyplývá 140-86cm. Tak vzniká druhá řada, tzv.modrá, 3-5-8-13-20-33-53-86-140-226-366-592 atd... Některé hodnoty z červené a modré řady mají pozoruhodný vztah k hodnotám lidského těla.

Tabulka představující prostor,jaký zaujímá lidské tělo v různých polohách

Své teoretické objevy prezentuje v roce 1951 na Trienále v Miláně, kde součastně probíhal kongres o proporcích za účasti předních vědců, matematiků, estetiků, architektů a dalších. Modulor nezůstává pouze v teoretické rovině, LC na jeho základě navrhuje v 50-tých letech 20.století inovativní stavbu - obytný dům, který svým vnitřním uspořádáním a míšením různých funkcí do té doby neměl v architektuře obdoby!

Teoretik G.L.Hersley ve své knize s názvem Architektura a geometrie ve věku baroka věnuje prostor i LC a jeho modulorovi. Geometrie prostupuje celým LC dílem, ale nikdy nevykrystalizovala v teorii architektury. Autor konstatuje, že modulor má blízkou spojitost s barokní geometrií R. Fludda, Kirchera a Keplera. LC se od renesance a baroka distancoval a svým předchůdcům vytýkal racionální symetrii přenesenou do geometrických plánů, on zastával geometrii asymetrickou. Přesto stejně jako oni oslavoval účinek hudby, lidského těla jako původce měřítka, vznešených čísel a jejich sérií a sekvencí. Byl průkopníkem ideální souřadnicové sítě, kde se nacházely buňky ideálních čtyřúhelníků, užívaných v renesanci a baroku... To signalizuje odkud vycházel, i když navenek prezentoval svoji teorii a sám to nepřiznává.

Při dělení lidského těla na tři intervaly (od nohy k pupíku, od pupíku k temeni hlavy a od temene hlavy k prstu vztyčené ruky) získává tři hodnoty: 108, 66^1/2, 41^1/2. Žádná z těchto délek ve skutečnosti není Fibonacciho řadou a ani neodpovídá poměru zlatého řezu! LC tvrdí pravý opak. Pravá Fibonacciho řada vždy začíná číslem 1, LC svoji řadu začíná čísly 3 a 4, proto mu vycházejí jiné posloupnosti.

( Důkaz: 108 : 66^1/2= 1,602; 66^1/2:41^1/2= 1,624... skutečná hodnota zlatého řezu 1,618). V první skice modulora se vedle „primitivní" kresby člověka objevují další dvě měřítkové řady vymezující plochy. Možná že mají souvislost s tzv. sectorem, barokním nástrojem pro měření ploch a objemů v různém měřítku. Některé hodnoty posloupností jsou podle Fibonacciho řady, některé zase v poměru zlatého řezu a ostatní jsou zcestné, mimo tyto teorie. Číslům LC připisuje intervaly na lidském těle, ale hodnoty 2, 9 a 11 nikdy nemohou pasovat na lidské tělo.

Ideál lidské postavy (mužské) jako základního měřítka směřuje do antiky k Vitruviovi. Na něho navazuje Leonardo da Vinci s kresbou člověka vepsaného do kruhu a čtverce (1485-1490). Až doba baroka s sebou přinesla zájem o čísla vytvářející lidské tělo. Robert Fludd (1574-1637) skrz něj chápal podstatu celého kosmu. Za povšimnutí stojí fakt, že i LC renesanční a barokní předchůdci neměli správné proporce, tak jako právě modulor. Skica modulora je nedokonalá. Postava má velmi malou hranatou hlavu bez tváře vyznačenou pouhým obrysem, obdobná je vztyčená ruka naopak mohutná bez zobrazených prstů. LC předchůdci hledali důležité proporční souvislosti i z detailů jako je lidská tvář, dlaň s prsty. LC se o toto vůbec nepokusil, že by bylo grafické ztvárnění důležitější před skutečností a nebo kamufluje nedokonalost jeho postavy?

Kresba člověka od L. da Vinciho (1485-90) a kresba člověka od R. Fludda (1574-1637)

Přesto postava LC má s postavou L. da Vinciho společný důležitý vztah. Obě postavy lze vepsat jak do kruhu, tak i do čtverce. Střed kruhu tvoří pupík, střed čtverce penis. Naopak u postavy Roberta Fludda je jejím středem penis, jako střed všeho. Na finální verzi modulora spolupracovalo s LC několik jeho spolupracovníků včetně Ellisy Maillard. Ta původní koncept obrací k R. Fluddovi. Přidává kruhy o různých velikostech vycházející ze středů čtverců základního nákresu. Kruhy se vzájemně protínají stejně jako v baroku u Fludda. O vědomém ovlivnění modulora jeho mikrosvětem není pochyb.

Na závěr G. L. Hersley konstatuje, že modulor nebyl konstruován na základě zlatého řezu a Fibonacciho řady. Kdyby ano, stačilo by pouze změnit hodnoty trojdílného dělení tak, aby vycházely správně. Zároveň nebylo účelem LC ho převádět přímo do architektury. Tvrzení, že poměr 175:108=1,620 představuje hodnotu zlatého řezu 1,618 je chybné. Přidáním čtverců, kruhů do kresby modulora vznikají čistě lineární čtverce, které vytvářejí moduly. Modulor se tak stal základem modulu... to bylo výsledkem. Dělením čtverců ve zlatém řezu vznikají další měřítkově rozmanité čtverce, obdélníky, sítě, které převedením do stavitelství mohly představovat půdorysy domů, stěny-panely, dveře, okna a takto bychom mohli pokračovat do jednotlivých detailů objektu.